Vsota kotov trikotnika. Izrek o vsoti kotov trikotnika

Trikotnik je mnogokotnik ima tri stranice (treh kotov). Najpogosteje je del označen z malimi črkami, ki ustrezajo velike črke, ki predstavljajo nasprotni tocke. V tem članku bomo pogled na te vrste geometrijskih oblik, izrek, ki opredeljuje, kaj je enaka vsoti kotov trikotnika.

Vrste največji koti

Naslednje vrste poligona s tremi tockami:

• ostrim kotom, pri kateri so vsi koti ostri;
• pravokotni ima en pravi kot, stranski jo tvori iz noge, in stran, ki je razporejen nasproti pravim kotom se imenuje hipotenuze;
• Nor ko je eden trupa topi ;
• enakokrak, katerih obe strani sta enaka in sta imenovani lateralno in tretji - trikotnik z bazo;
• enakostranični ima tri enake stranice.

lastnosti

Dodeli osnovne lastnosti, ki so značilne za vsako vrsto trikotnika:

• nasproti največja stran je vedno večji kot, in obratno;
• so enake kote nasproti enakega največje stranke, in obratno;
• V vsakem trikotniku ima dva pod ostrim kotom;
• zunanja trupa večje od notranjega kota ni vezan nanj;
• vsota katerih koli dveh kotov je vedno manjši od 180 stopinj;
• zunanjost kot enaka vsoti drugih dveh vogalih, ki niso mezhuyut z njim.

Izrek o vsoti kotov trikotnika

Izrek pravi, da če se ujemajo vse kotičke geometrične oblike, ki se nahaja v evklidski ravnini, potem njihova vsota bo 180 stopinj. Poskusimo dokazati ta izrek.

Naj imamo poljuben trikotnik s tock KMN. Čez bo vrh M imajo neposreden vzporedno z linijo KN (ki je tudi ta linija imenuje Evklida). Opozoriti je treba točko A, tako da so točke, K in A urejen iz različnih straneh črte MN. Smo dobili enako kot AMS in MUF, ki je, tako kot v notranjosti, ležijo prečno na oblikovanje sekajo MN v povezavi z neposrednim CN in upravljanja, ki so vzporedno. Iz tega sledi, da je vsota kotov trikotnika, ki se nahaja na oglišč M in N enako velikostjo CMA kotom. Vsi trije koti sestavljena iz vsote enak vsoti kotov KMA in MCS. Ker so podatki notranji koti relativne enostranskem vzporedni črti CL in CM OU na sekata, njihova vsota je 180 stopinj. To dokazuje izrek.

rezultat

Od zgoraj zgornji izrek pomeni naslednje Posledica: Vsak trikotnik ima dve akutne kotov. Da bi se to izkaže, vzemimo, da je ta geometrični lik samo en oster kot. Prav tako lahko domnevamo, da nobeden od vogalov niso ostri. V tem primeru mora biti vsaj dva kota, katerih obseg je enak ali večji od 90 stopinj. Ampak potem je vsota kotov je večji od 180 stopinj. Ampak to ne more biti, saj je glede na izrek vsota kotov v trikotnika enaka 180 ° - nič več, nič manj. To je tisto, kar je bilo treba dokazati.

Lastnine zunanje kote

Kaj je vsota kotov trikotnika, ki so zunanji? Odgovor na to vprašanje je mogoče dobiti z uporabo enega od dveh načinov. Prva je, da boste morali najti vsoto kotov, ki so sprejete eno na vsako tocko, ki je tri kotov. Drugi pomeni, da boste morali najti vsoto šest kotov na tock. Za spopadanje z začetkom prve izvedbe. Tako je trikotnik vsebuje šest zunanjih vogalov - na vrhu vsake od obeh. Vsak par ima enake kote med seboj, saj so vertikalni:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Poleg tega je znano, da je zunanji vogal trikotnika enaka vsoti dveh notranjosti, ki niso mezhuyutsya z njim. zato,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Iz tega je razvidno, da bo vsota zunanjih kotov, ki so sprejele enega po enega v bližini vsako tocko enaka:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Glede na dejstvo, da je vsota kotov je enaka 180 stopinj, je mogoče trditi, da ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. To pomeni, da ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Če se uporabi druga možnost, bo vsota šest kotov biti ustrezno večja dvakrat. To je vsota kotov trikotnika izven bodo:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

pravokotni trikotnik

Kaj je enak vsoti kotov pravokotnega trikotnika, je otok? Odgovor je, spet, iz izreka, v katerem je navedeno, da koti trikotnika dodate do 180 stopinj. Zvok je naša trditev (premoženje), kot sledi: v pravokotnega trikotnika ostrimi koti dodate do 90 stopinj. Mi dokazati svojo verodostojnost. Naj bo dana trikotnik KMN, ki ∟N = 90 °. Treba je dokazati, da ∟K ∟M = + 90 °.

Tako je, glede na izrek o vsoti kotov ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. V tem stanju je rečeno, da ∟N = 90 °. Izkazalo se je, ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. To je ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. To je tisto, kar moramo dokazati.

Poleg zgoraj navedenih lastnosti pravokotnega trikotnika, lahko dodate to:

• koti, ki leži ob nogah so ostri;
• hipotenuza trikotnega večje od krakov;
• vsota nog več od hipotenuze;
• krak trikotnika, ki leži nasproti kotom 30 stopinj, polovica hipotenuze, ki je enaka polovice.

Kot drug premoženja geometrične oblike mogoče razlikovati Pitagorov izrek. Ona trdi, da v trikotniku s kotom 90 stopinj (pravokotne), vsota kvadratov nog enaka kvadrat hipotenuze.

Vsota kotov enakokrakega trikotnika

Prej smo rekli, da je enakokraki trikotnik mnogokotnik s tremi tockami, ki vsebuje dve enaki strani. Ta lastnost je znano geometrijsko obliko: koti na svojem dnu enaka. Dovolite nam, dokazati to.

Bodite trikotnik KMN, ki je enakokraki, SC - svojo bazo. Mi smo morali dokazati, da ∟K = ∟N. Torej, vzemimo, da je MA - KMN je Simetrala našega trikotnika. ICA trikotnik s prvim znakom enakosti je trikotnik MNA. Namreč, s hipotezo, saj je CM = NM, MA skupno stran, ∟1 = ∟2, ker MA - to Simetrala. Uporaba enakost dveh trikotnikov, bi lahko trdili, da ∟K = ∟N. Zato je izrek dokazan.

Vendar nas zanima, kakšna je vsota kotov trikotnika (enakokrakega). Ker v zvezi s tem nima svoje funkcije, bomo začeli z izrek že razpravljali. To pomeni, da lahko rečemo, da ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ali 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kot ∟K = ∟N). To se ne bo izkazalo, da premoženje, kot je bil izrek o vsoti kotov trikotnika izkazala prej.

Razen obravnavanih lastnosti vogalih trikotnika, obstajajo tudi takšne pomembne izjave:

• V enakostraničnega trikotnika višino, ki je bil spuščen na podlago, je hkrati mediana simetrali kota, ki poteka med enakimi straneh in simetralo svoje baze;
• središčnica (simetrali, višina), ki potekajo na straneh geometrijskega lika, sta enaka.

enakostranični trikotnik

To se imenuje tudi pravica, je trikotnik, ki so enaka za vse strani. In zato tudi enaka in koti. Vsak od njih je 60 stopinj. Dovolite nam, dokazati to lastnost.

Vzemimo, da imamo trikotnik KMN. Vemo, da je KM = HM = KH. To pomeni, da je glede na lastnino kotov, ki se nahajajo na dnu, v enakostraničnega trikotnika ∟K = ∟M = ∟N. Ker je v skladu z vsoto kotov trikotnika izreka ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, potem je x 3 = 180 ° ∟K ali ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Tako je trditev dokazana. Kot je razvidno iz zgornje dokazov na podlagi zgoraj izreka, vsota kotov iz enakostraničnega trikotnika, kot vsota kotov koli drugega trikotnika je 180 stopinj. Spet dokazuje ta izrek ni potrebno.

Obstaja še nekaj lastnosti, značilne za enakostraničnega trikotnika:

• srednja višina simetrali v geometrijskega lika identična, in njihova dolžina se izračuna kot (a x √3): 2;
• če ta poligon omejitvi kroga, potem je polmer je enak (A x √3): 3;
• če vpisane v krogu enakostraničnega trikotnika, bi bila njena radij se (a x √3): 6;
• Območje geometrijskega lika se izračuna po naslednji formuli: (A2 x √3): 4.

topi trikotnik

Po definiciji topim kotom trikotnik, je ena od njenih vogalov med 90 do 180 stopinj. Ampak glede na dejstvo, da drugi dve koti geometrijske oblike oster, je mogoče sklepati, da ne presežejo 90 stopinj. Zato je vsota kotov trikotnika izreka deluje pri izračunu vsote kotov v topim trikotnika. Torej, lahko mirno rečemo, temelji na zgornji izrek, da je vsota topi koti trikotnika 180 stopinj. Tudi ta izrek ni potrebno ponovno dokaz.