Kako izračunati površino piramide: osnovno, strani in v celoti?

V okviru priprav na izpit za študente matematike morali sistematizirati znanje algebre in geometrije. Rad bi, da združi vse znane podatke, kot so, kako izračunati površino piramide. Poleg tega izhajajoč iz dna in stranic do celotne površine. Če je obrnjena situacija je jasna, saj so trikotniki, osnova je vedno drugačna.

Kako je, ko je površina osnove piramide?

To je lahko precej koli podatek iz poljubnega trikotnika z n-gon. In to osnove, razen razlike v številu kotov, je lahko pravilna ali napačna številka. V interesu študentov nalog na izpitu našel le delo s pravimi podatki v bazi. Zato bomo govorili samo o njih.

enakostranični trikotnik

To je enakostranični. Ena, da so vse stranke enake in so označeni s črko "a". V tem primeru je osnovna površina piramide izračuna po formuli:

S = ⁽² * √3) / 4.

square

Formula za izračun njegova površina je najenostavnejši, je "a" - stran je še enkrat:

In S = ^2.

Samovoljno redna n-gon

Na straneh poligona isto oznako. Za število kotov uporabljajo latinsko črko n.

S = (n * ^a2) / (4 * TG (180º / n)) .

Kako vstopiti v izračun območja prečne in celotni površini?

Ker je osnova podatek pravilen, vse ploskve piramide enaka. Od katerih je vsak enakokrakega trikotnika, saj so stranski robovi enake. Nato za izračun območje stranico piramide potrebujemo formulo, ki sestoji iz vsote monomials identičnih. Število pogojev se določi glede na znesek osnovnih straneh.

Območje enakokrakega trikotnika se izračuna po formuli v kateri je polovica osnovnega izdelka pomnoženo z višino. Ta višina v piramidi imenuje apothem. Njegovo imenovanje - "A". Splošna formula za območja prečne ploskve je, kot sledi:

S = ½ P * A, pri čemer je P - oboda osnove piramide.

Včasih ni znano, da osnovno stranjo, ampak so stranski robovi (a) ravna in kotom pri vrhu (a). Nato se opira uporabimo naslednjo formulo za izračun bočno površino piramide:

S = N / 2 do ² * sin α.

Naloga № 1

Pogoj. Poiščite skupno površino piramide, če je njegova osnova je enakostranični trikotnik s stranico 4 cm in ima vrednost √3 apothem cm.

Sklep. To bi se morala začeti z izračunom osnovnega obodu. Ker gre za redno trikotnik, potem je p = 3 * 4 = 12 cm apothem Kot je znano, lahko takoj izračunamo površino celotne stranske površine :. pol * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Za pridobitev osnovnega trikotnika je vrednost območja (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Za določitev celotnega območja potrebno krat dva dobljene vrednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Odgovor. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Pogoj. Obstaja redni štirikotne piramide. Dolžina baze enaka 7 mm, stranskim robom - 16 mm. Morate vedeti, njeno površino.

Sklep. Ker poliedra - pravokotne in pravilen, na njenem dnu je kvadrat. Slušni osnovno površino in stranske stranice se lahko zanesejo na kvadratni piramido. Formula za kvadrata je naveden zgoraj. In vem, da vse stranske obraze trikotnika. Torej, lahko uporabite Heron formula za izračun njihovih območij.

Prvi izračuni so preproste in vodijo do te številke: 49 mm ^2. Za izračun drugo vrednost potrebujejo semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sedaj lahko izračunamo površino enakokrakega trikotnika: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Obstajajo štirje trikotniki, da pri izračunu končne številke bo treba pomnožiti s 4.

Dobljeni: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Odgovor. 267,576 želeno vrednost ² mm.

Naloga № 3

Pogoj. Na redni štirioglati piramide, ki so potrebni za izračun površine. Znano stranice kvadrata - 6 cm in višina - 4 cm.

Sklep. Najlažje uporabiti formulo produktu oboda in apothem. Prva vrednost je našel preprosto. Druga malo težje.

Bomo morali zapomniti Pitagorov izrek in razmisli pravico trikotnik. To je tvorjen z višino piramide in apothem, ki je hipotenuza. Druga noga je pol stran od trga, kot višina polieder pade sredi nje.

Ugodne apothem (hipotenuza iz pravokotnega trikotnika) je enak √ (marec ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Zdaj je mogoče izračunati želeno vrednost: pol * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 ^(cm2).

Odgovor. 96 ^cm2.

Problem № 4

Pogoj. Dana redno šesterokotno piramide. Stranice vznožjem enaka 22 mm, katere stranska robova - 61 mm. Kaj je površina plašča ta polieder?

Sklep. Sklepanje, v njej so enake, kot je opisano v opravilni №2. Samo je bila piramida je dana s kvadratom na dnu, zdaj pa je šesterokotnik.

Prvi korak je izračunana z osnovno površino z gornjo formulo ^{(6 * 22 2) / (} 4 * TG (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Sedaj morate najti pol oboda enakokrakega trikotnika, ki je stran obraza. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 ostane heronova formula za izračun površino vsakega trikotnika, in nato pomnožimo s šest-krat in tistega, ki se je izkazalo, da se na podlago.

Izračuni za Heron formuli: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 ^cm2. Izračuni da bo plašča: 660 * 6 = 3960 ^cm2. To je še vedno, da jih dodate do izvedeli celotno površino: 5217,47≈5217 cm ^2.

Odgovor. Razlogi - 726√3 cm ^2, ko je stranska površina - 3960 cm ^2, celotna površina - 5217 ^cm2.