Fourierova transformacija. Hitra Fourierova transformacija. Diskretna Fourierjeva transformacija

Fourierova transformacija - transformacija, ki povezuje določene funkcije realne spremenljivke. Ta postopek se izvede vsakič, ko zaznavamo različne zvoke. Ear proizvaja avtomatske "izračun", ki izpolnjujejo naše lahko zavest šele po pregledu odseka višje matematike. predstavitvi organ v človeškem transformacije konstruktov, pri katerih se zvok (konvencionalnih vibracijsko gibanje delcev v elastičnega medija, ki se širijo v obliki valov v trdnem, tekočem ali plinastem mediju) predvidena v območju zaporednih vrednosti glasnosti tonov različnih višin. Po tem, možgani spremeni podatke v vsem znanem zvok je.

Matematična Fourierjeva transformacija

Pretvorba zvočnega valovanja ali procesov drugo vibracijsko (s oddajanja svetlobe in oceanov plima in zvezdni ali sončnih ciklov) lahko izvedemo in s pomočjo matematičnih metod. Tako je z uporabo teh tehnik, funkcije je mogoče razširiti z uvedbo vibracijske procesov iz sinusnih komponent, tj valovitimi krivulj, ki gredo od najmanj do največ in nato spet na minimum, kot val morja. Fourierjeva transformacija - funkcija preoblikovanje, ki opisuje faze ali amplituda vsakega sinusoide, ki ustreza določeni frekvenci. Faza je začetna točka krivulje in amplitude - njene višine.

Fourierjeva transformacija (primeri so prikazani na sliki) je zelo močno orodje, ki se uporablja v različnih področij znanosti. V nekaterih primerih se uporablja kot raztopina precej zapletene enačbe, ki opisujejo dinamičnih procesov, ki se pojavljajo pod vplivom svetlobe, toplote ali električne energije. V drugih primerih, vam omogoča, da določite redne komponent v kompleksnih valov, zaradi tega lahko res interpretirati različne eksperimentalne ugotovitve v kemije, medicine in astronomije.

zgodovinski podatki

Prva oseba, ki uporablja to metodo, je bil francoski matematik Zhan Batist Fure. Pretvorba, kasneje poimenovali po njem, je bila prvotno uporabljena za opis mehanizma za toplotno prevodnost. Fourier je celo odraslo življenje, ki se ukvarjajo s preučevanjem lastnosti toplote. Naredil je ogromno prispeval k matematične teorije določitev korenin algebrskih enačb. Fourier je bil profesor analize na École Polytechnique, sekretar Inštituta za egiptologije, je cesarska služba, ki je povzročil razburjenje v času gradnje ceste proti Torinu (pod njegovim vodstvom je izsušena več kot 80 tisoč kvadratnih kilometrov malarijo močvirja). Vendar pa vse to aktivizem ni ustavilo znanstvenik, ki opravlja matematične analize. Leta 1802 je bila izpeljana enačbo, ki opisuje širjenje toplote v trdnih snovi. Leta 1807, znanstveniki odkrili način za reševanje te enačbe, ki je postal znan kot "Fourierjeva transformacija".

Analiza toplotna prevodnost

Raziskovalci uporabili matematično metodo za opis mehanizma toplotno prevodnost. Primeren primer, kjer ni težav pri izračunu razmnoževanje toplotne energije z železnim obročem, en del potopljen v ogenj. Za izvedbo poskusov Fourier rdeče vroče del obroča in ga zakopal v mivko. Nato so meritve temperature izvede na njeni nasprotni strani. Sprva porazdelitev toplote nepravilen: del obroča - mraz, in drugi - vroče, med območji lahko opazujemo oster temperaturni gradient. Vendar pa je pri distribuciji toplote čez kovinsko površino, da postane bolj enotna. Torej, kmalu, ta proces traja obliko sinusoide. Prvi graf postopoma povečuje in zmanjšuje tudi gladko, natančno zakone variacije kosinus ali sinus funkcije. Wave postopoma izenačen in kot rezultat postane temperatura enakomerno po celotni površini obroča.

Avtor tega načina predpostavlja, da je začetna porazdelitev povsem nepravilen se lahko razdelijo na več osnovnih sinusnih valov. Vsak od njih bo imela fazo (začetni položaj) in najvišjo temperaturo. Tako vsaka takšne komponente spremeni iz najmanj do največ in nazaj vrtljaju okoli roki obročnih integer. Komponenta, ki ima na obdobje, ki je bilo imenovano temeljno harmonična in vrednost z dvema ali več obdobij - drugo in tako naprej. Na primer, matematična funkcija, ki opisuje maksimalno temperaturo, faza ali položaj imenovan Fourierjevo transformacijo porazdelitvene funkcije. Znanstvenik je prinesel eno komponento, ki je težko matematični opis, za orodje, enostavno za uporabo, - vrstice sinusa in kosinusa, v višini daje začetno porazdelitev.

Bistvo analize

Z uporabo te analize za pretvorbo distribucije toplote na trdnem predmetu, ki ima obročasto obliko, matematik obrazloženo ki povečujejo dobe sinusnih komponent vodi do hitre dušenja. To je jasno razvidno na glavnih in druge harmonike. Končna temperatura doseže dvakrat najvišje in najnižje vrednosti v enem prehodu, in v prvi - samo enkrat. Izkazalo se je, da je razdalja, ki jo toplote potoval v drugem harmonika polovici jedra. Poleg tega bo gradient drugi polovici prav tako strm, kot prvi. Zato, ker je bolj intenzivna toplotna tok prehaja vdova minimalno razdaljo, potem bo to dušeno harmonično štirikrat hitreje kot glavni, v odvisnosti od časa. V naslednjem postopku bo še hitrejši. Matematik verjeli, da je ta metoda nam omogoča, da izračunamo postopek začetne porazdelitve temperature s časom.

Call sodobniki

Fourierjeva transformacija algoritem je postalo izziv teoretičnih osnov matematike v času. V začetku devetnajstega stoletja, najbolj uglednih znanstvenikov, vključno Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre in Biot ni sprejelo njegovo trditev, da je temperatura začetne porazdelitve razgradi v sestavne dele v obliki osnovnega vala in višjo frekvenco. Vendar akademija znanosti niso mogli prezreti dobljene rezultate matematik, in mu podelil nagrado za teorijo toplotne prevodnosti zakonov, kot tudi vodenju primerjavo s fizikalnimi eksperimenti. V pristopu Fourier, je glavni očitek je, da je prekinjenega funkcija predstavlja vsoto več sinusne funkcije, ki so neprekinjeno. Konec koncev, opisujejo pokanja ravne in ukrivljene linije. Sodobna znanstvenik ni nikoli naletel na takšno situacijo, ko so prekinjene funkcije s kombinacijo neprekinjeno, kot kvadratna, linearno, sine ali razstavljavec opisane. V primeru, da je bil matematik prav v svojih trditvah, naj bi vsota neskončno vrsto trigonometrične funkcije omejen na točno hitrost. Medtem ko je tak zahtevek je zdelo absurdno. Vendar pa je kljub dvomom nekaterih raziskovalcev (npr Claude Navier, Sofi Zhermen) razširila področje raziskav in jih pripeljal iz analize distribucije toplote. Matematike, medtem, še naprej trpijo vprašanje, ali je vsota več sinusnih funkcij zmanjšati na točno zastopanje pokanja.

Zgodovina 200 let

Ta teorija se je razvila več kot dve stoletji, danes pa je dokončno oblikovana. S pomočjo prostorskih in časovnih funkcij, so razdeljene v sinusnih komponent, ki imajo frekvenco, fazo in amplitudo. Ta pretvorba dobimo z dveh različnih matematičnih metod. Prvi izmed njih se uporabi v primeru, ko je vir zvezna funkcija, in drugi - v primeru, kjer je predstavljena z množico diskretnih posameznih sprememb. Če je izraz pridobljen iz podatkov, ki so opredeljeni v ločenih časovnih intervalih, se lahko razdeli v več diskretnih sinusne frekvenc izrazi - od najnižje in nato dvakrat, trikrat, in tako naprej nad osnovno. Ta znesek se imenuje serije Fourier. Če prvotni izraz določa vrednost vsakega realno število, se lahko razdelijo na več sinusnih vseh možnih frekvencah. To se imenuje Fourier integral, in odločitev pomeni preoblikovanje integralne funkcije. Ne glede na metodo za pridobivanje preoblikovanje, za vsako frekvenco je treba navesti dve številki: amplitudo in frekvenco. Te vrednosti so izražene kot eno kompleksno število. Izražanje kompleksne spremenljivke teorija skupaj s Fourierovo transformacijo za izvajanje izračunov dovoli oblikovanje različnih električnih vezij, analiza mehanskih vibracij, študij mehanizma širjenja valov in drugo.

Fourierova transformacija danes

Danes je proučevanje tega procesa v bistvu izvira na iskanju učinkovitih načinov za prehod iz funkcije, da jo pretvori nazaj v mislih. Ta rešitev se imenuje direktna in inverzna Fourierjeva transformacija. Kaj to pomeni? Da bi ugotovili, integral in bi neposredno Fourierjeva transformacija, lahko uporabite matematične metode, lahko pa analitični. Kljub temu, da obstajajo, če se uporabljajo v praksi nekaj težav, večina integrale že našla in vpisana v matematičnih priročnikov. S pomočjo numeričnih metod je mogoče izračunati izrazov, katerega oblika temelji na eksperimentalnih podatkov, funkcija, katere manjkajo integrale v tabelah in jih je težko predstavljati, v analitični obliki.

Pred prihodom računalniške inženirske izračune takšne transformacije so bile zelo dolgočasno, saj zahtevajo ročno izvedbo velikega števila aritmetičnih operacij, ki so odvisni od števila točk, ki opisujejo valovno funkcijo. Za lažje reševanje je danes, obstajajo posebni programi, dovoljeno izvajati nove analitske metode. Torej, leta 1965, Dzheyms Kuli in Dzhon Tyuki ustvarila programsko opremo, ki je postal znan kot "Fast Fourier Transform". To prihrani čas izračuna z zmanjšanjem števila razmnožitev v analizi krivulje. "Fast Fourier Transform" Metoda temelji na tako, da se krivulja v veliko število enakih vrednostih vzorcev. V skladu s tem je število množenj zmanjša za polovico hkrati zmanjšanje števila točk.

Uporaba Fourierjeva transformacija

Ta postopek se uporablja v različnih področjih: v teoriji števil, fizike, obdelavo signalov, kombinatorike, teorije verjetnosti, kriptografije, statistike, oceanografija, optika, akustika in drugih geometrij. Bogate možnosti za njeno uporabo, so na podlagi številnih uporabnih funkcij, ki se imenujejo "lastnosti Fourierove transformacije." Naj nam jih pregleda.

1. Funkcija pretvorbe je linearni operater in ustrezno normalizacija je enotna. Ta lastnost je znana kot Parsevalov stavek ali v splošnem primeru izrek Plansherelja ali Pontrjagin dualizem.

2. Pretvorba je reverzibilna. Poleg tega, nasprotno rezultat je v bistvu podobno obliko kot v neposredno naslavljanje.

3. sinusne osnovni izrazi so svoje diferencirane funkcije. To pomeni, da na primer zastopanje spreminja linearnih enačb s konstantnimi koeficienti v konvencionalni algebrajsko.

4. Glede na "konvolucijo" izrek, proces naredi kompleksno operacijo v osnovni množenje.

5. Diskretna Fourierjeva transformacija se lahko hitro zasnovan na računalniku s pomočjo "hiter" način.

Različice Fourierjevo transformacijo

1. Najpogosteje je izraz, ki se nanašajo na kontinuirano transformacijo, ki zagotavlja nobene kvadratom integrabilni izraz kot vsota kompleksne eksponentno izražanja s posebnimi kotnih frekvenc in amplitud. Ta vrsta ima več različnih oblik, ki so lahko različni konstantnimi koeficienti. Stalno Postopek vključuje pretvorbene tabele, ki jih lahko najdemo v matematičnih priročnikih. Dati splošne primer je delno pretvorbe, pri čemer se ta postopek lahko dvigne na želeno dejanske moči.

2. Metoda, je posplošitev prejšnje tehnike Fourierjeve definirano za morebitne periodične funkcije in izrazi, ki obstajajo v omejenem območju in jih predstavljajo kot niz sinusoids.

3. Diskretna Fourierova transformacija. Ta metoda se uporablja pri izračunu za znanstveno računanja in digitalne obdelave signalov. Za izvedbo te vrste izračuna je treba, da ima funkcijo določanja na diskretno niz posameznih točk, redno ali omejeno regije namesto neprekinjenih Fourier integralov. pretvorba signalov v tem primeru predstavlja kot vsota sinusoids. Uporaba "hitro" metoda omogoča uporabo digitalnih rešitev za vse praktične namene.

4. Okno Fourierova transformacija je posplošena pogled na klasično metodo. Za razliko od standardnih rešitev, ko se uporablja signal spektra, ki se jih je sprejela na celotno paleto obstoja te spremenljivke je posebnega pomena, tukaj je samo lokalno porazdelitev frekvence, medtem ko ohranja izvirno spremenljivko (čas).

5. dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija. Ta metoda se uporablja za delo z dvodimenzionalnih nizi podatkov. V takem primeru se pretvorba izvede v eni smeri, in potem - v drugem.

zaključek

Danes je metoda Fourier trdno zasidran na različnih področjih znanosti. Na primer, leta 1962 je odprl obliko dvojne vijačnice DNA z uporabo Fourierove analize v povezavi z rentgensko difrakcijo. Nedavne kristali osredotočena na DNA vlaken, ki izhaja na sliki, ki jo dobimo z difrakcijo, ki se zapiše na filmu. Ta slika je dal podatke o vrednosti amplitude s pomočjo Fourierjeva transformacija na to kristalno strukturo. Podatki faze pridobljene s primerjavo DNA-difrakcijske kartic s kartice, ki jih dobimo pri analizi podobnih kemijskih struktur. Kot rezultat, biologi obnovljena kristalno strukturo - prvotno funkcijo.

Fourierjeva transformacija igrajo veliko vlogo pri preučevanju vesolja, fizike polprevodniških materialov in plazme, mikrovalovne akustiko, oceanografijo, radar, seizmologijo in zdravniških pregledov.