Kaj je aritmetično? Glavna izreka aritmetike. Binarna aritmetika

Kaj je aritmetično? Kdaj je človeštvo začelo uporabljati številke in delati z njimi? Kje so korenine takšnih običajnih konceptov, kot so številke, frakcije, odštevanje, dodajanje in množenje, ki jih je človek naredil neločljiv del svojega življenja in svetovnega pogleda? Starodavne grške misli so občudovali tako znanost kot matematiko, aritmetiko in geometrijo kot najlepše simfonije človeške logike.

Morda aritmetika ni tako globoka kot druge znanosti, toda, kaj bi se jim zgodilo, pozabite na osnovno tabelo množenja? Običajno logično razmišljanje, z uporabo številk, frakcij in drugih orodij, ni bilo mogoče dati ljudem in dolgo časa ni bilo na voljo za naše prednike. Pravzaprav, pred razvojem aritmetike ni nobenega področja človeškega znanja resnično znan.

Aritmetika je abeceda matematike

Aritmetika je znanost o številu, s katero se katera koli oseba začne spoznavati s fascinantnim svetom matematike. Kot je povedal M. Lomonosov, je aritmetika prehod štipendije, ki nam odpira pot do svetovnega znanja. Ali je pravi, ali se lahko znanje o svetu ločuje od poznavanja številk in pisem, matematike in govora? Morda v starih časih, ne pa v sodobnem svetu, kjer hiter razvoj znanosti in tehnologije narekuje njene zakone.

Beseda "aritmetika" (grški "aritmos") grškega izvora pomeni "številka". Študira število in vse, kar se lahko poveže z njimi. To je svet številk: različna dejanja o številu, numerična pravila, reševanje problemov, ki vključujejo množenje, odštevanje in tako naprej.

Splošno je splošno priznano, da je aritmetika začetni korak matematike in trdna podlaga za bolj zapletene dele tega, kot so algebra, matanaliza, višja matematika in tako naprej.

Glavni cilj aritmetike

Osnova aritmetike je celo število, katerega lastnosti in pravilnosti se upoštevajo v višji aritmetični ali teoretični številki. Pravzaprav je moč celotne zgradbe - matematike odvisna od tega, kako dobro se uporablja pravilen pristop pri obravnavanju tako majhnega bloka kot naravnega števila.

Zato se na vprašanje o tem, kaj je aritmetično mogoče odgovoriti preprosto: to je znanost o številu. Da, o običajnih sedmih, devetih in vsa ta raznolika skupnost. In prav tako kot ne moreš pisati dobrih in osrednjih pesmi brez elementarne abecede, brez aritmetike ne moreš rešiti niti elementarnega problema. Zato so vse znanosti napredovale šele po razvoju aritmetike in matematike, ki so pred tem le niz predpostavk.

Aritmetična - fantomska znanost

Kaj je aritmetično - naravoslovje ali fantom? Dejstvo je, kot trdijo antični grški filozofi, v realnosti ni nobenih številk ali številk. To je samo fantom, ki je ustvarjen v človeškem razmišljanju pri razmišljanju o okolju s svojimi procesi. Dejansko, kaj je številka? Nikjer drugje ne vidimo takega, ki bi ga lahko imenovali številka, temveč številka je način človeškega uma za študij sveta. In mogoče je to študija o sebi? Filozofi so to že več sto let zapored razpravljali, zato ne izčrpavamo odgovora. Na tak ali drugačen način aritmetika je uspela tako trdno zavzeti svoja stališča, da v današnjem svetu nihče ne moremo šteti za družbeno prilagojen, ne da bi poznali svoje temelje.

Kako se je prikazalo naravno število

Seveda je glavni objekt, ki ga upravlja aritmetika, naravno število, na primer 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... itd. Aritmetika naravnih številk je rezultat štetja navadnih predmetov, na primer krav na travniku. Še vedno pa je definicija "veliko" ali "malo" nekdaj prenehala ustrezati ljudem, zato sem moral izumiti boljše tehnike štetja.

Toda resničen preboj se je zgodil, ko je človeška misel dosegla točko, da je mogoče označiti isto število "dva" in 2 kilograma ter 2 opeka in dva dela. Dejstvo je, da se morate abstraktovati iz oblik, lastnosti in pomena predmetov, nato pa lahko s temi predmeti izvedete nekaj dejanj v obliki naravnih številk. Tako se je rodila aritmetika številk, ki se je še naprej razvijala in razširila in zasedla vse večje položaje v življenju družbe.

Takšna poglobljena pojmovanja številk, kot nič in negativno število, frakcije, zapis številk v številkah in na druge načine, imajo bogato in zanimivo zgodovino razvoja.

Aritmetični in praktični Egipčani

Dva od najstarejših človeških spremljevalcev pri študiju okoliškega sveta in reševanje vsakdanjega problema sta aritmetika in geometrija.

Verjamejo, da zgodovina aritmetike izhaja iz Ancient East: v Indiji, Egiptu, Babilonu in na Kitajskem. Tako je papirija Rinde iz egipčanskega izvora (tako imenovana, ker je pripadala lastniku istega imena), datiranega v XX. Stoletje. BC, razen za druge dragocene podatke, vsebuje razkroj ene frakcije za vsoto frakcij z različnimi imenovalci in števec enako eni.

Na primer: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Toda kakšna je točka takšne zapletene razgradnje? Dejstvo je, da egipčanski pristop ni mogel dopuščati abstraktnega razmišljanja o številu, nasprotno, izračuni so bili opravljeni samo za praktične namene. To pomeni, da bo egiptovsko podjetje obravnavalo tako izračunavanje kot zgolj za izgradnjo grobnice. Treba je izračunati dolžino roba strukture, kar je prisililo osebo, da sedi za papirus. Očitno je bil egipčanski napredek pri izračunih povzročen, namesto z veliko, gradnjo, in ne ljubezni do znanosti.

Iz tega razloga izračunov na papirih ne moremo imenovati refleksije na frakcijah. Najverjetneje je to praktična naročila, ki so v prihodnosti pripomogla k reševanju problemov s frakcijami. Starodavni Egipčani, ki niso poznali množilnih miz, so izdelali precej dolge izračune, ki so se razgradili v številne poddizke. Morda je to eden tistih podizdelkov. Ni težko videti, da so izračuni s takšnimi pripravami zelo težavni in malo možnosti. Morda zato iz tega razloga ne vidimo velikega prispevka starega Egipta k razvoju matematike.

Starodavna Grčija in filozofska aritmetika

Veliko znanja o starodavnem vzhodu so uspešno obvladovali stari Grki, znani ljubitelji abstraktnih, abstraktnih in filozofskih razmišljanj. Njihova praksa ni bila manj zanimiva, vendar je težko najti najboljše teoretike in mislece. To je šlo v korist znanosti, saj je nemogoče iskati v aritmetiki, ne da bi ga zlomili z resničnostjo. Seveda lahko pomnožite 10 krav in 100 litrov mleka, vendar ne boste mogli iti daleč.

Grci so globoko razmišljali, da so v zgodovini zapustili pomembno znamenje in njihova pisanja so dosegla:

• Euclid in "Začetek".
• Pitagora.
• Arhimed.
• Eratosteni.
• Zeno.
• Anaxagoras.

In, seveda, Grki vse pretvorijo v filozofijo in še zlasti v nadaljevanje pihagorejskega primera, so bili tako navdušeni nad številkami, za katere so menili, da so skrivnost harmonije sveta. Številke so bile preučevane in preučevane, da so nekaterim od njih in njihovim parom dodeljene posebne lastnosti. Na primer:

• Popolna števila so tista, ki so enaka vsoti vseh njihovih delilcev, razen števila (6 = 1 + 2 + 3).
• Prijateljske številke so številke, od katerih je ena enaka vsoti vseh deliteljev drugega, in obratno (Pitagorejci so vedeli le za en tak par: 220 in 284).

Grki, ki so verjeli, da je znanost treba ljubiti in ne biti z njo zaradi dobička, je dosegla velik uspeh, raziskovanje, igranje in dodajanje številk. Treba je opozoriti, da niso vse ugotovitve našli široko uporabo, nekateri od njih so ostali le "za lepoto".

Vzhodni misleci iz srednjega veka

Podobno se v srednjem veku aritmetika dolguje svojemu razvoju vzhodnim sodobnikom. Indijci so nam dali številke, ki jih aktivno uporabljamo, tako izraz kot "nič", in pozicijska različica računskega sistema, ki je znan sodobnemu zaznavanju. Od al-kaše, ki je delal v Samarkandu v 15. stoletju, smo podedovali decimale, brez katerih je težko predstavljati sodobno aritmetiko.

Na več načinov je evropsko znanje o dosežkih Vzhoda postalo mogoče zaradi dela italijanskega znanstvenika Leonarda Fibonačija, ki je napisal knjigo Abacus Book, ki uvaja vzhodne inovacije. Postala je temelj razvoja algebre in aritmetične, raziskovalne in znanstvene dejavnosti v Evropi.

Ruska aritmetika

In nazadnje, aritmetika, ki je našla svoj kraj in zakoreninjena v Evropi, se je začela širiti na ruska ozemlja. Prva ruska aritmetika je bila objavljena leta 1703 - knjiga o aritmetiki Leontyja Magnitskega. Dolgo časa je ostal edini učni priročnik o matematiki. Vsebuje začetne trenutke algebre in geometrije. Številke, ki se uporabljajo v primerih prvi v Rusiji učbenik aritmetike, arabščina. Čeprav so se arabske številke pojavile prej, na grafih iz 17. stoletja.

Sama knjiga je okrašena s slikami Arhimedesa in Pitagora, na prvi list pa je podoba aritmetike v obliki ženske. Sedi na prestolu, pod njim je napisano v hebrejščini besedo, ki označuje ime Boga, in na stopnicah, ki vodijo do prestola, se zapisujejo besede "delitev", "množenje", "dodatek" itd. Edino si lahko predstavljamo pomen, izdan Takšne resnice, ki se zdaj obravnavajo kot običajne.

Učbenik s 600 strani opisuje osnove, kot so tabela dodajanja in množenja ter aplikacije za navigacijske znanosti.

Ni presenetljivo, da je avtor izbral podobo grških mislecev za svojo knjigo, ker je bil sam navdušen nad lepoto aritmetike in rekel: "Aritmetika je števec, obstaja poštena, neomejena umetnost ...". Ta pristop k aritmetiki je popolnoma upravičen, ker je to njegov razširjen uvod, ki se lahko šteje za začetek hitrega razvoja znanstvene misli v Rusiji in splošnega izobraževanja.

Nelagodne prime številke

Prvo število je naravno število, ki ima samo dva pozitivna delilnika: 1 in samega. Vse druge številke, ki ne štejejo 1, se imenujejo kompozitni. Primeri prvih števil: 2, 3, 5, 7, 11 in vsi drugi, ki nimajo drugih deliteljev, razen številke 1 in sebe.

Kar zadeva številko 1, je na posebnem računu - obstaja prepričanje, da ga ni treba obravnavati niti preprosto niti zapleteno. Enostavno na prvi pogled preprosto število prikriva veliko nerešenih skrivnosti znotraj sebe.

Euclidova izreka pravi, da so prime števila neskončni množici, Eratosthenes pa je ustvaril posebno aritmetično "sito", ki izloča neugodne številke, tako da ostane le preprost.

Njeno bistvo je poudariti prvo ne-poudarjeno številko in v prihodnosti izbrisati tiste, ki so mu večkratne. Ta postopek ponavljamo večkrat in dobimo tabelo prvih številk.

Glavna izreka aritmetike

Med opazovanji na prime številkah moramo na poseben način omeniti osnovno izrečno izjavo aritmetike.

Osnovna izreka aritmetike pravi, da je vsako celo število, večje od 1, preprosto ali pa se lahko razgradi v produkcijo prvin v vrstni red faktorjev na edinstven način.

Glavna izreka aritmetike se je izkazala za precej zapletena in njeno razumevanje ni več podobno najpreprostejšim temeljem.

Na prvi pogled so prvotne številke osnovni koncept, vendar to ni tako. Fizika je tudi nekoč obravnavala atomski element, dokler ni v njej našel celega vesolja. Lepa zgodba matematike Don Tsagirja "Prvih petdeset milijonov primehtnih številk" je posvečena prvim številom.

Od "treh jabolk" do deduktivnih zakonov

Kaj resnično lahko imenujemo okrepljen temelj celotne znanosti, so zakoni aritmetike. Kot otrok se vsi soočajo z aritmetiko, preučujejo število nog in peresa v lutkah, število kock, jabolk itd. Zato preučujemo aritmetiko, ki se nanaša na bolj zapletena pravila.

Naše celo življenje nas seznanja s pravili aritmetike, ki so postala za navadnega človeka najbolj uporabna od vsega, kar daje znanost. Študija številk je "aritmetično-dojenček", ki uvaja osebo v svet številk v obliki številk v zgodnjem otroštvu.

Višja aritmetika je deduktivna znanost, ki proučuje zakone aritmetike. Večina jih vemo, čeprav morda ne poznamo njihovih natančnih formulacij.

Zakon o dodajanju in množenju

Vsaka dva naravna števila a in b se lahko izrazita kot a + b, ki je tudi naravno število. Kar zadeva dodatek, veljajo naslednji zakoni:

• Komutativni, ki pravi, da se vsota ne spremeni iz permutacije izročil v krajih ali + b = b + a.
• Asocijativ , ki pravi, da vsota ni odvisna od načina združevanja poročil v krajih, ali + (b + c) = (a + b) + c.

Pravila aritmetike, kot je dodatek, so nekaj osnovnega, vendar jih uporabljajo vse vede, da ne omenjamo vsakdanjega življenja.

Vsaka dva naravna števila a in b se lahko izrazita v izdelku a * b ali a * b, ki je tudi naravno število. Isti komutativni in asociativni zakoni veljajo za izdelek, ki se nanaša na dodatek:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

Zanimivo je, da obstaja zakon, ki združuje dodajanje in množenje, imenovano tudi distribucijsko ali distribucijsko pravo:

A (b + c) = ab + ac

Ta zakon dejansko uči, da delamo z oklepaji, jih razkrivamo, zato lahko delamo z bolj zapletenimi formulami. To so ravno zakoni, ki nas bodo vodili skozi bizaren in zapleten svet algebre.

Zakon aritmetičnega reda

Zakoni reda uporabljajo človeško logiko vsak dan, primerjajo ure in štetje računov. Kljub temu pa je treba formalizirati v obliki konkretnih formulacij.

Če imamo dve naravni številki a in b, potem so možne naslednje možnosti:

• A je b ali a = b;
• A je manj kot b ali
• A je večja od b ali a> b.

Od treh možnosti je lahko le en pošten. Osnovni zakon, ki ureja naročilo, pravi: če sta

Obstajajo tudi zakoni, ki povezujejo vrstni red z dejanjem množenja in dodajanja: če je a

Zakoni aritmetike nas učijo, da delamo s številkami, znaki in oklepaji, vse pa spreminjamo v harmonično simfonijo številk.

Pozicijski in nenosovni sistemi izračuna

Lahko rečemo, da so številke matematični jezik, od katerega je odvisno veliko. Obstaja veliko sistemov računanja, ki se, tako kot abecede različnih jezikov, razlikujejo drug od drugega.

Razmislite številski sistem iz točke pozicij vpliva na kvantitativne vrednosti številko v tem položaju. Na primer, rimsko sistem nonpositional kjer je vsaka številka kodirana s posebnega niza posebnih znakov: I / V / X / L / C / D / M. So, v tem zaporedju, številke 1/5/10/50/100/500 / 1000. V tem sistemu, ta številka ne spremeni svojo kvantitativno določitev, odvisno od tega, v kakšnem položaju bi morala: .. Prva, druga, itd Da bi dobili druge številke, je treba določiti osnove. Na primer:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Več seznanjeni, da nas številski sistem z arabskimi številkami, je legah. V takem sistemu je število razrešnice določa število znakov, na primer, trimestne številke: 333, 567, itd Masa po kateremkoli od izpusta odvisna od položaja, na katerem je slika enega ali drugega, npr sliki 8 v drugem položaju ima vrednost 80. To je značilno za decimalno sistema, obstajajo tudi drugi pozicijski sistem kot binarno.

binarna aritmetika

Mi smo seznanjeni decimalni sistem, sestavljen iz eno-bitnih in multi-bitnih števil. Na sliki je na levi strani v mestno številko je desetkrat večja v pomembni za eno na desni strani. Torej, smo uporabili, da se glasi 2, 17, 467, in tako naprej. D. To je drugačna logika in pristop oddelek, ki se imenuje "binarna aritmetika." To ni presenetljivo, saj je binarna aritmetika ni ustvarjen za človeško logiko, in za računalnik. Če aritmetična številk izvira iz štetja, ki je še bolj odvzete iz predmeta premoženja na "goli" aritmetično, potem to ne bo delo z računalnikom. Da bi lahko delili svoje znanje z računalnikom, imel človek izumiti izračun modela.

Binarna aritmetika deluje z binarno abecede, ki je sestavljen samo iz 0 in 1. In uporaba te abecede se imenuje binarni sistem.

Za razliko od binarna aritmetika decimalko da so pomen položaja levi ni več 10, in 2-krat. Binarni številke obrazca 111, 1001 in tako naprej. D. Kako naj razumemo te številke? Zato menimo, da število 1100

1. Prva številka na levi strani - 1 * 8 = 8, ob upoštevanju, da je četrta številka, ki pomeni, da mora biti to pomnoži z 2, dobimo položaj 8.
2. Druga številka 1 * 4 = 4 (položaj 4).
3. Tretja številka 0 * 2 = 0 (položaj 2).
4. Četrto mesto 0 * 1 = 0 (položaj 1).
5. Torej naš številka 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To pomeni, da prehod v novo kategorijo na levi strani njenega pomena v binarnem sistemu se pomnoži z 2 in decimalne - do 10. Tak sistem ima eno pomanjkljivost: to je prevelika bitov rasti, ki so potrebne za snemanje številk. Primeri decimalna številke dvochinyh, kot je razvidno v spodnji tabeli.

Decimalna številke so zastopane v binarni obliki spodaj.

Uporablja se tudi osmiško, in sistem šestnajstiški številčenja.

To skrivnostno aritmetična

Kaj je aritmetična, "dva plus dva" ali neraziskanih skrivnosti številke? Kot lahko vidite, aritmetika, lahko, in se zdi na prvi pogled preprosto, vendar pa ni jasno, varljiv enostavnost. Možno je, da se učenci učijo, in skupaj s teto sove iz risanke "aritmetična-otroka", in se lahko potopite v globoko znanstvenih raziskav skoraj filozofsko naročila. V zgodovini je šel iz štetja predmetov častiti lepoto številk. Eno je gotovo: z vzpostavitvijo osnovnih postulatov aritmetike, lahko vsi znanost zanašajo na njeno močno ramo.