Cramerjevo pravilo in njena uporaba

cramerjevo pravilo - je eden od natančnih metod za reševanje sistemov linearnih enačb (Slough). Njegova natančnost zaradi uporabe dejavnikov matrike sistema, kot tudi nekatere omejitve, določene v dokazu izreka.

Sistem linearnih enačb s koeficienti, ki pripada, na primer, je množica R - realna števila neznank x1, x2, ..., xn je zbirka izrazov

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain Xn = dvo z i = 1, 2, ..., m, (1)

kjer je aij, bi - realne številke. Vsaka od teh izrazov se imenuje linearna enačba, aij - koeficienti neznank, bi - neodvisni koeficienti enačb.

Raztopino (1) iz n-dimenzionalna vektorja x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), na kateri substitucija v sistem za neznanke X1, X2, ..., Xn, vsaka od vrstic v sistemu postane najboljši enačbo .

Sistem se imenuje dosledno, če ima vsaj eno rešitev, in nedosledno, če to sovpada z nizom rešitev praznega niza.

Treba je opozoriti, da je, da bi našli rešitve za sisteme linearnih enačb z metodo za Cramer, matrix sistemi morajo biti trg, kar v bistvu pomeni enako število neznank in enačb v sistemu.

Torej, uporabiti metodo Cramer, ga je treba vsaj vedeti, kaj Matrica je sistem linearnih enačb, in je izdal. In drugič, da razumejo, kaj se imenuje determinanta matrike in svojih sposobnosti računanja.

Vzemimo, da je to znanje, ki jih imajo. Čudovito! Potem moraš samo zapomniti formule, ki določajo način Kramer. Za poenostavitev pamet uporabite naslednje oznake:

• Det - glavna determinanta matrike sistema;

• deti - je determinanta matrike, dobljene iz primarne matrike sistema z nadomestitvijo i- stolpec matrike na stolpčni vektor, katere elementi so desna stran linearnih enačb;

• n - število neznank in enačb v sistemu.

Potem Cramer je pravilo računanje i-ta komponenta xi (i = 1, .. n) n-dimenzionalni vektor x zapišemo kot

xi = deti / Det, (2).

V tem primeru, Det nujno različna od nič.

Edinstvenost rešitev sistema, ko je skupaj, ki jih je pogoj neenakosti glavne determinante sistema na nič. V nasprotnem primeru, če je vsota (XI), kvadrat, strogo pozitivna, potem SLAE kvadratna matrika je neizvedljivo. To se lahko zgodi zlasti, če je vsaj eden od Deti različen od nič.

PRIMER 1. Za rešitev tridimenzionalni sistem LAU uporabo Cramer formula.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Sklep. Zapišemo matriko linije sistema s strani linije, kjer Ai - je i-ti vrstici matrike.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Stolpec prosti koeficienti b = (31 29 oktober).

Glavni sistem je dejavnik Det
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1-20 + 12-12 + 2 - 10 = -27.

Za izračun permutacije det1 uporabo A11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. potem
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Podobno, za izračun det2 uporabe menjavo A12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, in s tem za izračun det3 - A13 = b1, A23 = b2, A33 = B3.
Potem lahko preverite, da det2 = -108, in det3 = - 135.
V skladu s formulami Cramer zdi X1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

Odgovor: x ° = (3,4,5).

Sklicujoč se na uporabo tega pravila, lahko metoda Kramer reševanje sistemov linearnih enačb uporabijo neposredno, na primer, naj preuči sistem na možno število raztopin v odvisnosti od vrednosti parametra k.

PRIMER 2 Za določitev na kateri vrednot k neenakosti parameter | kx - y - 4 | + | x + ky +4 | <= 0 ima natanko eno rešitev.

Sklep.
Ta neenakost, po definiciji funkcije modula je mogoče izvesti le, če sta oba izraza nič hkrati. Zato je ta problem zmanjša na iskanju rešitve linearnih enačb

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Rešitev tega sistema samo, če je glavni dejavnik od
Det = K ^ {2} + 1 je večja od nič. Jasno je, da je ta pogoj izpolnjen za vse realne vrednosti parametra k.

Odgovor: za vse realne vrednosti parametra k.

Cilji te vrste je mogoče zmanjšati tudi veliko praktičnih problemov na področju matematike, fizike in kemije.