Enačba ravnine: kako narediti? Vrste letalo enačbe

Prostor letalo lahko definiramo na različne načine (ena pika in vektorskih je vektorskih in dve točki, tri točke, itd). To je s tem v mislih, lahko letalo enačba imajo različne vrste. Tudi pod določenimi pogoji lahko ravnina je vzporedna, pravokotna, seka itd Ob tem pa bo govoril v tem članku. Spoznali bomo, da je splošno enačbo ravnine in ne samo.

Običajna oblika enačbe

Recimo R je prostor _3, ki ima pravokotni koordinatni sistem XYZ. Definiramo vektor α, ki se sproščajo iz začetne točke O. do konca vektorja a pripraviti ravnina P, ki je pravokotna nanjo.

Stojita P na poljubni točki Q = (x, y, z). Polmer Vektor točka Q znak črko p. Dolžina vektorja enaka a p = IαI in Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Ta enota vektor, ki je usmerjen v smeri kot vektorja a. α, β in γ - so koti, ki se tvorijo med vektorjem in pozitivne smeri Ʋ prostorske osi x, y, z oz. Projekcija točke na vektorja QεP Ʋ je konstanta, ki je enaka p (p, Ʋ) = P (r≥0).

Zgornja enačba je smiselna, kadar je p = 0. Edini n ravnina, v tem primeru bi križno O (α = 0), ki je izvor in enota vektorske Ʋ, sproščen iz točke O bo pravokotna P, čeprav je njegova smer, kar pomeni, da je vektor Ʋ določi do znaka. Prejšnja enačba je naše letalo P, izražena v vektorski obliki. Toda zaradi svojih koordinat je:

P je večja ali enaka 0. Ugotovili smo ravnino enačbo v običajni obliki.

Splošna enačba

Če je enačba v koordinate pomnožimo s poljubnim številom, ki ni enaka nič, dobimo enačbo, ki ustreza to, da opredeljuje zelo letalo. To bo imel v naslednji obliki:

Tukaj, A, B, C, - je število istočasno različna od nič. Ta enačba se imenuje enačba splošni obliki ravnine.

Enačbe letalih. Posebni primeri

Enačba se na splošno lahko spremeni z dodatnimi pogoji. Razmislite o nekaterih izmed njih.

Predpostavimo, da je koeficient 0. To pomeni, da je ravnina vzporedna z vnaprej določeno os Ox. V tem primeru je oblika enačbe spremeni: Wu + Cz + D = 0.

Podobno bo obliko enačbe in se spreminjajo z naslednjimi pogoji:

• Prvič, če je B = 0, se enačba spremeni v Ax + cz + D = 0, ki bi kazali na vzporednost na osi Oy.
• Drugič, če C = 0, je enačba preoblikuje v Ax + By + D = 0, to je približno vzporedna z vnaprej določeno os Oz.
• Tretjič, če D = 0, se enačba prikazani kot Ax + By + Cz = 0, kar bi pomenilo, da je ravnina seka O (izvoru).
• Četrtič, če je A = B = 0, enačba spremembe CZ + D = 0, ki se bodo izkazali za paralelizem Oxy.
• Petič, če B = C = 0, enačba postane Ax + D = 0, kar pomeni, da je ravnina vzporedna z Oyz.
• Šestič, če je A = C = 0, enačba ima obliko Wu + D = 0, to je, da poročajo vzporednost Oxz.

Oblika enačbe v segmentih

V primeru, ko število A, B, C, D različna od nič, obliko enačbe (0) so lahko kot sledi:

x / a + y / b + Z / c = 1,

kjer je A = D / A, b = -D / b, c = D / C

Dobivamo kot rezultat enačbe ravnine v kosih. Opozoriti je treba, da bo ta ravnina seka x-os na točki s koordinatami (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), in Oz - (0,0, S).

Glede na enačba x / a + y / b + Z / c = 1, ni težko predstavljati ravnino umestitev glede na vnaprej določenemu koordinatnem sistemu.

Koordinate normalnega vektorja

Normalna Vektor N na ravni P ima koordinate, ki so koeficienti s splošno enačbo ravnine, t.j. N (A, B, C).

Da bi določili koordinate normalne n, je dovolj poznati splošne enačbe v ravnino.

Pri uporabi enačbo v segmentih, ki ima obliko x / a + y / b + Z / c = 1, kot pri uporabi splošne enačbe lahko zapišemo koordinate normalnem vektorja v ravnino: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Opozoriti je treba, da je normalno vektor pomoč za reševanje različnih težav. Najpogostejši problemi so sestavljeni v dokaz pravokotnih ali vzporednih ravninah nalogo iskanjem kotov med ravninama ali kotov med ravninami in ravnih črt.

Tip glede na ravnino enačbo in koordinati točke normalnega vektorja

Neničelno vektor n, pravokotna na dano ravnino, ki se imenuje normalno (normalno) na vnaprej določeno ravnino.

Recimo, da je v koordinatnem prostoru (pravokotni koordinatni sistem) Oxyz nastavitev:

• Mₒ točka s koordinatami (hₒ, uₒ, zₒ);
• nič vektor n = A * i + B * j + C * k.

Morate narediti enačbo ravnine, ki poteka skozi Mₒ točko pravokotno na normalno n.

V prostoru izberemo katerokoli poljubno točko in pomenita M (x, y, z). Naj polmer vektor vsako točko M (x, y, z) bo r = x * i + y * j + Z * K, in radij vektor iz točke Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * K. Točka M bo pripadajo dano ravnino, če vektor MₒM je pravokotna na vektor n. Pišemo stanje Ortogonalnost pomočjo skalarni produkt:

[MₒM n] = 0.

Ker MₒM = r-rₒ bo vektor enačba ravnine izgleda takole:

[R - rₒ n] = 0.

Ta enačba ima lahko tudi druge oblike. V ta namen so lastnosti skalarnim produktom, in pretvori na levi strani enačbe. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Če [rₒ, n] označena kot s, dobimo naslednjo enačbo: [r, n] - a = 0 ali [R, n] = y, ki izraža konstantnosti štrlin na normalni vektor za polmer-vektorjev danih točk, ki pripadajo ravnino.

Sedaj lahko dobili koordinato zapisovalna tipa ravnina naša vektorska enačba [r - rₒ n] = 0. Ker r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y uₒ) * j + (Z-zₒ) * K, in n = A * i + B * j + C * K, imamo:

Izkazalo se je, da imamo enačba se oblikuje ravnino, ki poteka skozi točko pravokotno na normalno n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Tip glede na ravnino enačbi in koordinat dveh točk vektor ravnine kolinearni z

Določimo dve poljubni točki M '(X', Y ', Z') in M "(x", y ", Z"), kot tudi vektor (a ', a ", A ‴).

Sedaj lahko napišemo enačbo vnaprej določeno ravnino, ki poteka skozi obstoječo točko M "in M", in vsako točko s koordinatami M (x, y, z) vzporedno danem vektorju.

Tako M'M vektorjev x = {x ', y-y ", ZZ'} in M« M = {x "-X ', Y" y ", z" -Z'} mora biti v isti ravnini z vektorjem a = (a ', A ", A ‴), kar pomeni, da (M'M M" M, a) = 0.

Tako bo naša enačba ravnine v prostoru videti takole:

Vrsta letalom enačbe, ki prečkajo tri točke

Recimo, da imamo tri točke: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ So ‴, z ‴), ki ne sodijo v isti liniji. Treba je napisati enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke določene. Teorija geometrija trdi, da je ta vrsta ravnini ne obstaja, to je samo eden in edini. Ker ta ravnina seka točko (X ', Y', Z '), njegova enačba oblika bi bila:

Tukaj, A, B in C so različni od nič ob istem času. Tudi glede ravnina seka dve mesti (x ', y ", Z") in (x ‴, y ‴, z ‴). V zvezi s tem je treba opraviti tovrstne pogoje:

Sedaj lahko ustvarimo enoten sistem enačb (linearno) s neznanke u, v, w:

V našem primeru so X, Y ali Z stoji poljubno točko, ki izpolnjuje enačbi (1). Glede enačbi (1) in sistem enačb (2) in (3) sistem enačb, navedenih v zgornji sliki, vektor izpolnjuje N (A, B, C), ki ni enostavna. To je zato, ker je determinanta sistema enaka nič.

Enačba (1), ki smo jih dobili, je to enačba ravnine. 3. točka je v resnici gre, in to je enostavno preveriti. Da bi to naredili, smo razširili na determinanto z elementi v prvi vrsti. Od obstoječih lastnosti determinanta izhaja, da je naš ravnina hkrati seka tri prvotno vnaprej določeno točko (X ', Y', Z '), (x', y ", Z"), (x ‴, y ‴, z ‴). Zato smo se odločili, da nalogo pred nami.

Ploskovni kot med ravninama

Kot med ploskvama prostorski geometrična oblika tvorjen z dvema polovic ravninama, ki izvirajo iz ravne črte. Z drugimi besedami, del prostora, ki je omejen na pol-ravninah.

Recimo, da imamo dve letalo z naslednjimi enačbami:

Vemo, da je vektor N = (A, B, C) in N¹ = (A¹, H¹, S¹) po vnaprej določenih ravninah so pravokotni. V zvezi s tem je kot φ med vektorji N in N¹ enako kot (diedrsko), ki se nahaja med temi ravninah. Skalarni produkt je podana z:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

prav zato, ker

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (å ² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

To je dovolj, da menijo, da 0≤φ≤π.

Pravzaprav dveh ravninah, ki sekajo, oblikuje dva kota (ploskovni): φ ₁ in φ _2. Njihova vsota je enaka Tr (φ ₁ + _cp2 = pi). Kar zadeva njihove Kosinus, njihove absolutne vrednosti enaki, vendar so različni znaki, to pomeni, fazne ₁ = -cos φ _2. Če v enačbi (0) nadomesti z A, B in C -A, -B in -C zaporedju, enačbe, dobimo, bo določil isti ravnini, edino kot φ v enačbi fazne = NN ¹ / | N || ^N1- | To bo nadomeščen s Tr-φ.

Enačba pravokotna ravnini

Klical pravokotno ravnino, med katerim se je pod kotom 90 stopinj. Uporaba gradiva zgoraj predstavljeno, lahko najdemo enačbo ravnine, ki je pravokotna na drugo. Recimo, da imamo dve letali: Ax + By + Cz + D = 0 in + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Lahko rečemo, da so pravokotno če cos = 0. To pomeni, da NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Enačba vzporedno ploskvijo

To je iz dveh vzporednih ravnin, ki vsebujejo nobenih skupnih točk.

Stanje vzporednih ravnin (njihovi enačbe so enake kot v prejšnjem odstavku), da so vektorji N in N¹, ki so pravokotno nanje kolinearni. To pomeni, da so ti pogoji izpolnjeni sorazmernost:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Če so proporcionalni pogoji razširili - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

To kaže, da je letalo podatkov o isti. To pomeni, da enačba Ax + z + CZ + D = 0 in + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 opisuje eno ravnino.

Razdalja od točke do ravnine

Recimo, da imamo letalo P, ki je podana z (0). Treba je najti razdaljo od točke s koordinatami (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Boste morali, da bi enačbo v ravnini II običajnega videza, da bi se:

(Ρ, v) = P (r≥0).

V tem primeru ρ (x, y, z) je radij vektor našega točke Q, ki se nahaja na P, P - je dolžina pravokotna P, ki je izšla iz ničelne točke, proti - je enota vektor, ki se nahaja v smeri.

Razlika ρ-ρº radij vektor iz točke Q = (x, y, z), ki pripada n in radij vektor od točke q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) je tak vektor, absolutna vrednost štrline, od katerih na proti enaka razdalja d, ki je potrebna, da bi našli izmed Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, vendar

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

Tako se je izkazalo,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Zdaj je jasno, da izračunati razdaljo d od ₀ do Q ravni P, je treba uporabiti običajni pogled ravnino enačbe, prehod na levi strani p, in zadnji kraj X, Y, Z nadomestek (hₒ, uₒ, zₒ).

Tako smo ugotovili absolutne vrednosti dobljenega izraza, ki se zahteva d.

Uporaba parametrov jeziku, bomo dobili jasno:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (å ² + V² + s²).

Če določeni točki Q ₀ je na drugi strani ravnine P kot izvor, nato pa med vektorjem ρ-ρ ⁰ in v je topi kot, tako:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

V primeru, da je točka q ₀ v povezavi s izvora, ki se nahajajo na isti strani U, ki je ustvarjena ostri kot, ki je:

d = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

Posledica tega je, da v prvem primeru (P ^0, v)> p, v drugem (P ^0, v)

In njena tangenta letalo enačba

Glede letalo na površino na dotikališče Mº - ravnina, ki vsebuje vse možne tangento na krivuljo, ki poteka skozi točko na površini.

S to površinsko obliko enačbe F (x, y, z) = 0 v enačbi tangentna tangentno točko Mº je (hº, uº, zº) bi bil:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Če je površina določena izrecno Z = f (x, y), potem je tangentna opisana z enačbo:

Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Presečišče dveh letal

V tridimenzionalnem prostoru je koordinatni sistem (pravokotno) Oxyz, saj dve letali P 'in P', ki se prekrivajo in ne sovpadajo. Od vseh letal, ki je v pravokotni koordinatni sistem, ki ga opredeli splošne enačbe, predpostavimo, da je n 'in n "sta opredeljena z enačbama A'x + V'u S'z + + D' = 0 in A '+ B x' + y Z "Z + D" = 0. V tem primeru imamo normalne n '(A', B ', C') v ravnini P 'in normalno n "(A', B ', C') v ravnini P". Ker so naše letalo ni vzporedna in ne sovpadajo, potem ti vektorji niso kolinearne. Uporaba jezika matematike, imamo ta pogoj lahko zapišemo kot: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * In«, λ * V «, λ * C"), λεR. Naj premica, ki leži na stičišču P 'in P ", bo označen s črko A, v tem primeru a = P' ∩ P".

in - linijo sestoji iz množice točk (skupna) ravnine P 'in P ". To pomeni, da koordinate poljubne točke pripada v ravnini A, mora hkrati izpolnjevati enačbo A'x + V'u S'z + + D '= 0 in "x + B" + C y "Z + D" = 0. To pomeni, da bodo koordinate točke večje posebno raztopino naslednjih enačb:

Posledica tega je, da bo rešitev (splošno) tega sistema enačb določi koordinate vsake točke na progi, ki bo delovala kot sečišča P 'in P ", in določiti vrstico v koordinatnem sistemu Oxyz (pravokotni) prostora.